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2013年重慶高考數學（理）試題（真題）
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數學試題卷(理工農醫類)
特別提醒：數學試題卷(理工農醫類)
(14)、(15)、(16)三題為選做題，請從中任選兩題作答，若三題全做，則按前兩題給分.
一.選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個備選項中，只有一個選項是符合題目要求的.
(1)已知集合 ，集合 ， ，則 (A) (B) (C) (D) (2)命題“對任意 ，都有 ”的否定為
(A)對任意 ，使得 (B)不存在 ，使得 (C)存在 ，都有 (D)存在 ，都有 (3) ( )的最大值為
(A)9 (B) (C)3 (D) (4)以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名學生在一次英語聽力測試中的成績(單位：分).
| 甲組 | 乙組 | ||||
| 9 | 0 | 9 | |||
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2 | 1 | 5 |
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8 |
| 7 | 4 | 2 | 4 | ||
(A)2、5 (B)5、5
(C)5,8 (D)8,8
(5)某幾何體的三視圖如題(5)圖所示，則該幾何體的體積為
(A) (B) (C)200
(D)240
(6)若 ，則函數 兩個零點分別位于區間
(A) 和 內 (B) 和 內
(C) 和 內 (D) 和 內
(7)已知圓 ： ，圓 ： ， 、 分別是圓 、 上的動點， 為 軸上的動點，則 的最小值為
(A) (B) (C) (D) (8)執行如題(8)圖所示的程序框圖，如果輸出 ，那么判斷框內應填入的條件是
(A) (B) (C) (D) (9) (A) (B) (C) (D) (10)在平面上， ， ， .若 ，則 的取值范圍是
(A) (B) (C) (D) 二.填空題：本大題共6小題，考生作答5小題，每小題5分，共25分.把答案填寫在答題卡相應位置上.
(11)已知復數 ( 是虛數單位)，則 .
(12)已知 是等差數列， ，公差 ， 為其前 項和，若 、 、 稱等比數列，則 .
(13)從3名骨科、4名腦外科和5名內科醫生中選派5人組成一個抗震救災醫療小組，則骨科、腦外科和內科醫生都至少有1人的選派方法種數是 (用數字作答).
考生注意：(14)、(15)、(16)三題為選做題，請從中任選兩題作答，若三題全做，則按前兩題給分.
(14)如題(14)圖，在△ 中， ， ， ，過 作△ 的外接圓的切線 ， ⊥ ， 與外接圓交于點 ，則 的長為 .
(15)在直角坐標系 中，以原點 為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標系.若極坐標方程為 的直線與曲線 ( 為參數)相交于 、 兩點，則 .
(16)若關于實數 的不等式 無解，則實數 的取值范圍是 .
三.解答題：本大題共6小題，共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
(17)(本小題滿分13分，(Ⅰ)小問6分，(Ⅱ)小問7分)
設 ，其中 ，曲線 在點(1， )處的切線與 軸相較于點(0,6).
(Ⅰ)確定 的值;
(Ⅱ)求函數 的單調區間與極值.
(18)(本小題滿分13分，(Ⅰ)小問5分，(Ⅱ)小問8分)
某商場舉行的“三色球”購物摸獎活動規定：在一次摸獎中，摸獎者先從裝有3個紅球與4個白球的袋中任意摸出3個球，再從裝有1個籃球與2個白球的袋中任意摸出1個球，根據摸出4個球中紅球與籃球的個數，設一、二、三等獎如下：
| 獎級 | 摸出紅、藍球個數 | 獲獎金額 |
| 一等獎 | 3紅1藍 | 200元 |
| 二等獎 | 3紅0藍 | 50元 |
| 三等獎 | 2紅1藍 | 10元 |
(Ⅰ)求一次摸球恰好摸到1個紅球的概率;
(Ⅱ)求摸獎者在一次摸獎中獲獎金額 的分布列與期望 .
(19)(本小題滿分13分，(Ⅰ)小問5分，(Ⅱ)小問8分)
如題(19)圖，四棱錐 中， ⊥底面 ， ， ， ， 為 的中點， ⊥ .
(Ⅰ)求 的長;
(Ⅱ)求二面角 的余弦值.
(20)(本小題滿分12分，(Ⅰ)小問4分，(Ⅱ)小問8分)
在△ 中，內角 、 、 的對邊分別是 、 、 ，且 .
(Ⅰ)求 ;
(Ⅱ)設 ， ，求 的值.
(21)(本小題滿分12分，(Ⅰ)小問4分，(Ⅱ)小問8分)
如題(21)圖，橢圓的中心為原點 ，長軸在 軸上，離心率 ，過左焦點 作 軸的垂線交橢圓于 、 兩點， .
(Ⅰ)求該橢圓的標準方程;
(Ⅱ)取垂直于 軸的直線與橢圓相較于不同的兩點 、 ，過 、 作圓心為 的圓，使橢圓上的其余點均在圓 外.若 ⊥ ，求圓 的標準方程.
(22)(本小題滿分12分，(Ⅰ)小問4分，(Ⅱ)小問8分)
對正整數 ，記 …， ， ， .
(Ⅰ)求集合 中元素的個數;
(Ⅱ)若 的子集 中任意兩個元素之和不是整數的平方，則稱 為“稀疏集”.求 的最大值，使 能分成兩個不相交的稀疏集的并.
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