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離散數學趣味題目

時間:2021-01-13 17:46:00 計算機等級 我要投稿

離散數學趣味題目

1,Catalan數

飯后,姐妹洗碗,妹妹把姐姐洗過的碗一個一個放進碗櫥摞成一摞。共有n個兩兩相異的碗,洗前也摞成一摞,也許因為妹妹貪玩,碗拿進櫥子不及時,姐姐就把洗過的碗摞在傍邊:

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(1)待洗 (2)待摞 (3)已摞

問最后小妹摞起的碗摞可能有幾種方式?

這個題目有個同解題是這樣的:

一隊不同的汽車行進在大街上,它們可以在任何時刻拐進一個死胡同里去加油,然后再出來加入隊伍。問你最后出城時汽車隊列有多少種可能形式?

呵呵,大家想想,有意思呢!

[簡短分析]

這是個有趣的組合問題。組合數學是離散數學的一部分,研究的是組合計數問題。圖論原來也是組合數學的一部分,后來才分家的.:)。組合計數的一個指導性技巧是,如果對于一個過程的計數不好研究,就可以找一個和它有一一對應的過程,而且該過程相對很好研究,這不是很美嗎?

你看看,如果碗有n個,姐姐每方下一個,就畫一個“(”,妹妹如果摞一個,就畫一個“)”,如果妹妹不貪玩,剛放下就能放好,串就是“()()()……()”,對吧?現在你來考慮一下,下次我說答案:)。
汽車車隊也是如此,車進了胡同就畫“(”,出來時再畫“)”,而沒有進胡同的就是“()”,呵呵,所以同解呢。

離散的問題,技巧性很大,初看問題的解沒有規律,仿佛量體裁衣般的,但也有指導性的思路對吧?

2,拉姆賽問題

樸素的方式敘述:

r(p,q)是任意給的人群中必有p人相識或必有q人彼此不相識的人群人數之最小值。例如,r(3,3)=6,就是說,任意個的人群,最少6個人,一定可滿足其中3個人相識,或3個人互相不認識。r(p,q)就稱為拉姆賽數。

圖論的方式敘述:

Any p,q in N,把一個完全圖G用紅與藍兩色進行邊涂色,每條邊一種顏色,其結果或者有一個紅色p邊形,連同其全部對角線皆為紅色,或者有一個藍色q邊形,連同其全部對角線皆為藍色,G最小的頂點數,能保證出現上述結果,就是拉姆賽數r(p,q)。

經過幾代人的努力,加上計算機的幫忙,現在人類求的9個非平凡的拉姆賽數:

r(3,3)=6,r(3,4)=9,r(3,5)=14
r(3,6)=18,r(3,7)=23,r(3,8)=28
r(3,9)=36,r(4,4)=18,r(4,5)=25

呵呵,你來試試,你能給出哪些拉姆賽數的推理過程?


[背景趣聞]

關于求拉姆賽數的艱巨性,著名匈牙利數學家厄爾多斯曾用下面的話比喻:
某年某月某日,一伙外星強盜入侵地球,威脅道,若不能一年內求出r(5,5),他們將滅絕人類!面對如此生死關頭,人類應當召集全球所有的數學家和計算機專家,夜以繼日的計算r(5,5),以求人類免于滅頂之災;如果外星人要我們求得r(6,6),我們就別無選擇了,干脆直接開戰,放手一搏:)。

3,夢中情人

約翰的夢中情人長著金黃色的頭發,藍藍的眼睛,纖細的身子,高高的個子。他認識阿黛爾,貝蒂,卡洛爾和多麗絲四位小姐,其中一位是約翰的夢中情人。(1)只有三位小姐是藍眼睛和細身材。(2)只有兩位是黃頭發和高個子(3)只有兩位是細身材和高個子。(4)只有一位是藍眼睛和黃頭發(5) 阿黛爾和貝蒂眼睛顏色相同。(6)貝蒂和卡洛爾頭發顏色相同(7)卡洛爾和多麗絲身材不同(8)多麗絲和阿黛爾身高相同。四位中誰是約翰的夢中情人?

[簡單分析]

呵呵,顯然這是個數理邏輯問題了。可以建立形式化的模型來分析,也可以用樸素的推理過程來做。很有意思的,這是離散數學的魅力!

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