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二次函數的中考試題匯編
一、選擇題
1、（2007天津市）已知二次函數的圖象如圖所示，有下列5個結論：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，（的實數）其中正確的結論有（
）B
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
2、（2007南充）如圖是二次函數y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，圖象過點A（－3，0），對稱軸為x＝－1．給出四個結論：①b2＞4ac；②2a＋b=0；③a－b＋c=0；④5a＜b．其中正確結論是（ ）．B
（A）②④
（B）①④
（C）②③
（D）①③
3、（2007廣州市）二次函數與x軸的交點個數是（
）B
A．0 B．1 C．2 D．3
4、（2007云南雙柏縣）在同一坐標系中一次函數和二次函數的圖象可能為（
）A
5、（2007四川資陽）已知二次函數(a≠0)的圖象開口向上，并經過點(-1，2)，(1，0) . 下列結論正確的是( )D
A. 當x>0時，函數值y隨x的增大而增大
B. 當x>0時，函數值y隨x的增大而減小
C. 存在一個負數x0，使得當x
D. 存在一個正數x0，使得當x
6、（2007山東日照）已知二次函數y=x2-x+a(a＞0)，當自變量x取m時，其相應的函數值小于0，那么下列結論中正確的是（ ）B
(A) m-1的函數值小于0 (B) m-1的函數值大于0
(C) m-1的函數值等于0 (D) m-1的函數值與0的大小關系不確定
二、填空題
1、（2007湖北孝感）二次函數y =ax2＋bx＋c
的圖象如圖8所示，且P=| a－b＋c |＋| 2a＋b |，Q=| a＋b＋c |＋| 2a－b |，則P、Q的大小關系為.P<Q
2、（2007四川成都）如圖9所示的拋物線是二次函數的圖象，那么的值是．－1
3、（2007江西省）已知二次函數的部分圖象如圖所示，則關于的一元二次方程的解為． ，；
4、（2007廣西南寧）已知二次函數的圖象如圖所示，則點在第象限． 三
三、解答題
1、（2007天津市）知一拋物線與x軸的交點是、B（1，0），且經過點C（2，8）。
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求該拋物線的頂點坐標。
解：（1）設這個拋物線的解析式為
由已知，拋物線過，B（1，0），C（2，8）三點，得
（3分）解這個方程組，得
∴
所求拋物線的解析式為（6分）
（2）
∴
該拋物線的頂點坐標為
2、（2007上海市）在直角坐標平面內，二次函數圖象的頂點為，且過點．
（1）求該二次函數的解析式；
（2）將該二次函數圖象向右平移幾個單位，可使平移后所得圖象經過坐標原點？并直接寫出平移后所得圖象與軸的另一個交點的坐標．
解：（1）設二次函數解析式為，
二次函數圖象過點，，得．
二次函數解析式為，即．
（2）令，得，解方程，得，．
二次函數圖象與軸的兩個交點坐標分別為和．
二次函數圖象向右平移1個單位后經過坐標原點．
平移后所得圖象與軸的另一個交點坐標為
3、（2007廣東梅州）已知二次函數圖象的頂點是，且過點．
（1）求二次函數的表達式，并在圖10中畫出它的圖象；
（2）求證：對任意實數，點都不在這個二次函數的圖象上．
解：（1）依題意可設此二次函數的表達式為，····· 2分
又點在它的圖象上，可得，解得．
所求為．
令，得
畫出其圖象如下．
（2）證明：若點在此二次函數的圖象上，
則．
得．
方程的判別式：，該方程無解．
所以原結論成立．
4、（2007貴州省貴陽）二次函數的圖象如圖9所示，根據圖象解答下列問題：
（1）寫出方程的兩個根．（2分）
（2）寫出不等式的解集．（2分）
（3）寫出隨的增大而減小的自變量的取值范圍．（2分）
（4）若方程有兩個不相等的實數根，求的取值范圍．（4分）
解：（1），
（2）
（3）
（4）
5、（2007河北省）如圖13，已知二次函數的圖像經過點A和點B．
（1）求該二次函數的表達式；
（2）寫出該拋物線的對稱軸及頂點坐標；
（3）點P（m，m）與點Q均在該函數圖像上（其中m＞0），且這兩點關于拋物線的對稱軸對稱，求m的值及點Q 到x軸的距離．
解：（1）將x=-1，y=-1；x=3，y=-9分別代入得
解得 ∴二次函數的表達式為．
（2）對稱軸為；頂點坐標為（2，-10）．
（3）將（m，m）代入，得 ，
解得．∵m＞0，∴不合題意，舍去．
∴ m=6．∵點P與點Q關于對稱軸對稱，∴點Q到x軸的距離為6．
6、（2007四川成都）在平面直角坐標系中，已知二次函數的圖象與軸交于兩點（點在點的左邊），與軸交于點，其頂點的橫坐標為1，且過點和．
（1）求此二次函數的表達式；
（2）若直線與線段交于點（不與點重合），則是否存在這樣的直線，使得以為頂點的三角形與相似？若存在，求出該直線的函數表達式及點的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若點是位于該二次函數對稱軸右邊圖象上不與頂點重合的任意一點，試比較銳角與的大小（不必證明），并寫出此時點的橫坐標的取值范圍．
解：（1）二次函數圖象頂點的橫坐標為1，且過點和，
由 解得
此二次函數的表達式為 ．
（2）假設存在直線與線段交于點（不與點重合），使得以為頂點的三角形與相似．
在中，令，則由，解得
．令，得．．
設過點的直線交于點，過點作軸于點．
點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為．
．
要使或，
已有，則只需，
①
或 ② 成立．
若是①，則有．而．
在中，由勾股定理，得．
解得 （負值舍去）．．
點的坐標為．將點的坐標代入中，求得．
滿足條件的直線的函數表達式為．
［或求出直線的函數表達式為，則與直線平行的直線的函數表達式為．此時易知，再求出直線的函數表達式為．聯立求得點的坐標為．］
若是②，則有．而．
在中，由勾股定理，得．
解得 （負值舍去）．．點的坐標為．
將點的坐標代入中，求得．滿足條件的直線的函數表達式為．
存在直線或與線段交于點（不與點重合），使得以為頂點的三角形與相似，且點的坐標分別為或．
（3）設過點的直線與該二次函數的圖象交于點．
將點的坐標代入中，求得．此直線的函數表達式為．
設點的坐標為，并代入，得．
解得（不合題意，舍去）．．
點的坐標為．此時，銳角．
又二次函數的對稱軸為，
點關于對稱軸對稱的點的坐標為．
當時，銳角；當時，銳角；
當時，銳角．
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